3.1222 \(\int \frac{1}{(a+b \tan (e+f x))^3 (c+d \tan (e+f x))^2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=457 \[ \frac{d \left (2 a^2 b^2 d \left (2 c^2+3 d^2\right )+a^4 d^3-2 a b^3 c \left (c^2+d^2\right )+b^4 d \left (2 c^2+3 d^2\right )\right )}{f \left (a^2+b^2\right )^2 \left (c^2+d^2\right ) (b c-a d)^3 (c+d \tan (e+f x))}-\frac{b^3 \left (-3 a^2 b^2 \left (c^2+3 d^2\right )+10 a^3 b c d-10 a^4 d^2+2 a b^3 c d+b^4 \left (c^2-3 d^2\right )\right ) \log (a \cos (e+f x)+b \sin (e+f x))}{f \left (a^2+b^2\right )^3 (b c-a d)^4}-\frac{x \left (6 a^2 b c d+a^3 \left (-\left (c^2-d^2\right )\right )+3 a b^2 \left (c^2-d^2\right )-2 b^3 c d\right )}{\left (a^2+b^2\right )^3 \left (c^2+d^2\right )^2}-\frac{b^2 \left (-7 a^2 d+4 a b c-3 b^2 d\right )}{2 f \left (a^2+b^2\right )^2 (b c-a d)^2 (a+b \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))}-\frac{b^2}{2 f \left (a^2+b^2\right ) (b c-a d) (a+b \tan (e+f x))^2 (c+d \tan (e+f x))}-\frac{d^4 \left (-2 a c d+5 b c^2+3 b d^2\right ) \log (c \cos (e+f x)+d \sin (e+f x))}{f \left (c^2+d^2\right )^2 (b c-a d)^4} \]

[Out]

-(((6*a^2*b*c*d - 2*b^3*c*d - a^3*(c^2 - d^2) + 3*a*b^2*(c^2 - d^2))*x)/((a^2 + b^2)^3*(c^2 + d^2)^2)) - (b^3*
(10*a^3*b*c*d + 2*a*b^3*c*d - 10*a^4*d^2 + b^4*(c^2 - 3*d^2) - 3*a^2*b^2*(c^2 + 3*d^2))*Log[a*Cos[e + f*x] + b
*Sin[e + f*x]])/((a^2 + b^2)^3*(b*c - a*d)^4*f) - (d^4*(5*b*c^2 - 2*a*c*d + 3*b*d^2)*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Si
n[e + f*x]])/((b*c - a*d)^4*(c^2 + d^2)^2*f) + (d*(a^4*d^3 - 2*a*b^3*c*(c^2 + d^2) + 2*a^2*b^2*d*(2*c^2 + 3*d^
2) + b^4*d*(2*c^2 + 3*d^2)))/((a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)^3*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])) - b^2/(2*(a^2 +
b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])) - (b^2*(4*a*b*c - 7*a^2*d - 3*b^2*d))/(2*(a^2
+ b^2)^2*(b*c - a*d)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x]))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 1.80469, antiderivative size = 457, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 4, integrand size = 25, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.16, Rules used = {3569, 3649, 3651, 3530} \[ \frac{d \left (2 a^2 b^2 d \left (2 c^2+3 d^2\right )+a^4 d^3-2 a b^3 c \left (c^2+d^2\right )+b^4 d \left (2 c^2+3 d^2\right )\right )}{f \left (a^2+b^2\right )^2 \left (c^2+d^2\right ) (b c-a d)^3 (c+d \tan (e+f x))}-\frac{b^3 \left (-3 a^2 b^2 \left (c^2+3 d^2\right )+10 a^3 b c d-10 a^4 d^2+2 a b^3 c d+b^4 \left (c^2-3 d^2\right )\right ) \log (a \cos (e+f x)+b \sin (e+f x))}{f \left (a^2+b^2\right )^3 (b c-a d)^4}-\frac{x \left (6 a^2 b c d+a^3 \left (-\left (c^2-d^2\right )\right )+3 a b^2 \left (c^2-d^2\right )-2 b^3 c d\right )}{\left (a^2+b^2\right )^3 \left (c^2+d^2\right )^2}-\frac{b^2 \left (-7 a^2 d+4 a b c-3 b^2 d\right )}{2 f \left (a^2+b^2\right )^2 (b c-a d)^2 (a+b \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))}-\frac{b^2}{2 f \left (a^2+b^2\right ) (b c-a d) (a+b \tan (e+f x))^2 (c+d \tan (e+f x))}-\frac{d^4 \left (-2 a c d+5 b c^2+3 b d^2\right ) \log (c \cos (e+f x)+d \sin (e+f x))}{f \left (c^2+d^2\right )^2 (b c-a d)^4} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[1/((a + b*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x])^2),x]

[Out]

-(((6*a^2*b*c*d - 2*b^3*c*d - a^3*(c^2 - d^2) + 3*a*b^2*(c^2 - d^2))*x)/((a^2 + b^2)^3*(c^2 + d^2)^2)) - (b^3*
(10*a^3*b*c*d + 2*a*b^3*c*d - 10*a^4*d^2 + b^4*(c^2 - 3*d^2) - 3*a^2*b^2*(c^2 + 3*d^2))*Log[a*Cos[e + f*x] + b
*Sin[e + f*x]])/((a^2 + b^2)^3*(b*c - a*d)^4*f) - (d^4*(5*b*c^2 - 2*a*c*d + 3*b*d^2)*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Si
n[e + f*x]])/((b*c - a*d)^4*(c^2 + d^2)^2*f) + (d*(a^4*d^3 - 2*a*b^3*c*(c^2 + d^2) + 2*a^2*b^2*d*(2*c^2 + 3*d^
2) + b^4*d*(2*c^2 + 3*d^2)))/((a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)^3*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])) - b^2/(2*(a^2 +
b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])) - (b^2*(4*a*b*c - 7*a^2*d - 3*b^2*d))/(2*(a^2
+ b^2)^2*(b*c - a*d)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x]))

Rule 3569

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Si
mp[(b^2*(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1))/(f*(m + 1)*(a^2 + b^2)*(b*c - a*d)), x] + D
ist[1/((m + 1)*(a^2 + b^2)*(b*c - a*d)), Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^n*Simp[a*(b*c -
a*d)*(m + 1) - b^2*d*(m + n + 2) - b*(b*c - a*d)*(m + 1)*Tan[e + f*x] - b^2*d*(m + n + 2)*Tan[e + f*x]^2, x],
x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && I
ntegerQ[2*m] && LtQ[m, -1] && (LtQ[n, 0] || IntegerQ[m]) &&  !(ILtQ[n, -1] && ( !IntegerQ[m] || (EqQ[c, 0] &&
NeQ[a, 0])))

Rule 3649

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*t
an[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(a + b*T
an[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1))/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 + b^2)), x] + Dist[1/((m + 1)*(
b*c - a*d)*(a^2 + b^2)), Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^n*Simp[A*(a*(b*c - a*d)*(m + 1)
- b^2*d*(m + n + 2)) + (b*B - a*C)*(b*c*(m + 1) + a*d*(n + 1)) - (m + 1)*(b*c - a*d)*(A*b - a*B - b*C)*Tan[e
+ f*x] - d*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(m + n + 2)*Tan[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C,
n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && LtQ[m, -1] &&  !(ILtQ[n, -1] && ( !I
ntegerQ[m] || (EqQ[c, 0] && NeQ[a, 0])))

Rule 3651

Int[((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/(((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)
*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Simp[((a*(A*c - c*C + B*d) + b*(B*c - A*d + C*d
))*x)/((a^2 + b^2)*(c^2 + d^2)), x] + (Dist[(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)/((b*c - a*d)*(a^2 + b^2)), Int[(b - a*Tan[
e + f*x])/(a + b*Tan[e + f*x]), x], x] - Dist[(c^2*C - B*c*d + A*d^2)/((b*c - a*d)*(c^2 + d^2)), Int[(d - c*Ta
n[e + f*x])/(c + d*Tan[e + f*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ
[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0]

Rule 3530

Int[((c_) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])/((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(c*Log[Re
moveContent[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x], x]])/(b*f), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d,
0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && EqQ[a*c + b*d, 0]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{1}{(a+b \tan (e+f x))^3 (c+d \tan (e+f x))^2} \, dx &=-\frac{b^2}{2 \left (a^2+b^2\right ) (b c-a d) f (a+b \tan (e+f x))^2 (c+d \tan (e+f x))}-\frac{\int \frac{-2 a b c+2 a^2 d+3 b^2 d+2 b (b c-a d) \tan (e+f x)+3 b^2 d \tan ^2(e+f x)}{(a+b \tan (e+f x))^2 (c+d \tan (e+f x))^2} \, dx}{2 \left (a^2+b^2\right ) (b c-a d)}\\ &=-\frac{b^2}{2 \left (a^2+b^2\right ) (b c-a d) f (a+b \tan (e+f x))^2 (c+d \tan (e+f x))}-\frac{b^2 \left (4 a b c-7 a^2 d-3 b^2 d\right )}{2 \left (a^2+b^2\right )^2 (b c-a d)^2 f (a+b \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))}+\frac{\int \frac{-2 \left (2 a^3 b c d+2 a b^3 c d-a^4 d^2+b^4 \left (c^2-3 d^2\right )-a^2 b^2 \left (c^2+6 d^2\right )\right )-4 a b (b c-a d)^2 \tan (e+f x)-2 b^2 d \left (4 a b c-7 a^2 d-3 b^2 d\right ) \tan ^2(e+f x)}{(a+b \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))^2} \, dx}{2 \left (a^2+b^2\right )^2 (b c-a d)^2}\\ &=\frac{d \left (a^4 d^3-2 a b^3 c \left (c^2+d^2\right )+2 a^2 b^2 d \left (2 c^2+3 d^2\right )+b^4 d \left (2 c^2+3 d^2\right )\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 (b c-a d)^3 \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))}-\frac{b^2}{2 \left (a^2+b^2\right ) (b c-a d) f (a+b \tan (e+f x))^2 (c+d \tan (e+f x))}-\frac{b^2 \left (4 a b c-7 a^2 d-3 b^2 d\right )}{2 \left (a^2+b^2\right )^2 (b c-a d)^2 f (a+b \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))}+\frac{\int \frac{-2 \left (a^5 c d^3-3 a^4 b d^2 \left (c^2+d^2\right )+a b^4 c d \left (c^2+2 d^2\right )+a^3 b^2 c d \left (3 c^2+5 d^2\right )+b^5 \left (c^4-2 c^2 d^2-3 d^4\right )-a^2 b^3 \left (c^4+7 c^2 d^2+6 d^4\right )\right )-2 (b c-a d)^3 \left (2 a b c+a^2 d-b^2 d\right ) \tan (e+f x)+2 b d \left (a^4 d^3-2 a b^3 c \left (c^2+d^2\right )+2 a^2 b^2 d \left (2 c^2+3 d^2\right )+b^4 d \left (2 c^2+3 d^2\right )\right ) \tan ^2(e+f x)}{(a+b \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))} \, dx}{2 \left (a^2+b^2\right )^2 (b c-a d)^3 \left (c^2+d^2\right )}\\ &=-\frac{\left (6 a^2 b c d-2 b^3 c d-a^3 \left (c^2-d^2\right )+3 a b^2 \left (c^2-d^2\right )\right ) x}{\left (a^2+b^2\right )^3 \left (c^2+d^2\right )^2}+\frac{d \left (a^4 d^3-2 a b^3 c \left (c^2+d^2\right )+2 a^2 b^2 d \left (2 c^2+3 d^2\right )+b^4 d \left (2 c^2+3 d^2\right )\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 (b c-a d)^3 \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))}-\frac{b^2}{2 \left (a^2+b^2\right ) (b c-a d) f (a+b \tan (e+f x))^2 (c+d \tan (e+f x))}-\frac{b^2 \left (4 a b c-7 a^2 d-3 b^2 d\right )}{2 \left (a^2+b^2\right )^2 (b c-a d)^2 f (a+b \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))}-\frac{\left (d^4 \left (5 b c^2-2 a c d+3 b d^2\right )\right ) \int \frac{d-c \tan (e+f x)}{c+d \tan (e+f x)} \, dx}{(b c-a d)^4 \left (c^2+d^2\right )^2}-\frac{\left (b^3 \left (10 a^3 b c d+2 a b^3 c d-10 a^4 d^2+b^4 \left (c^2-3 d^2\right )-3 a^2 b^2 \left (c^2+3 d^2\right )\right )\right ) \int \frac{b-a \tan (e+f x)}{a+b \tan (e+f x)} \, dx}{\left (a^2+b^2\right )^3 (b c-a d)^4}\\ &=-\frac{\left (6 a^2 b c d-2 b^3 c d-a^3 \left (c^2-d^2\right )+3 a b^2 \left (c^2-d^2\right )\right ) x}{\left (a^2+b^2\right )^3 \left (c^2+d^2\right )^2}-\frac{b^3 \left (10 a^3 b c d+2 a b^3 c d-10 a^4 d^2+b^4 \left (c^2-3 d^2\right )-3 a^2 b^2 \left (c^2+3 d^2\right )\right ) \log (a \cos (e+f x)+b \sin (e+f x))}{\left (a^2+b^2\right )^3 (b c-a d)^4 f}-\frac{d^4 \left (5 b c^2-2 a c d+3 b d^2\right ) \log (c \cos (e+f x)+d \sin (e+f x))}{(b c-a d)^4 \left (c^2+d^2\right )^2 f}+\frac{d \left (a^4 d^3-2 a b^3 c \left (c^2+d^2\right )+2 a^2 b^2 d \left (2 c^2+3 d^2\right )+b^4 d \left (2 c^2+3 d^2\right )\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 (b c-a d)^3 \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))}-\frac{b^2}{2 \left (a^2+b^2\right ) (b c-a d) f (a+b \tan (e+f x))^2 (c+d \tan (e+f x))}-\frac{b^2 \left (4 a b c-7 a^2 d-3 b^2 d\right )}{2 \left (a^2+b^2\right )^2 (b c-a d)^2 f (a+b \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 7.2212, size = 840, normalized size = 1.84 \[ -\frac{b^2}{2 \left (a^2+b^2\right ) (b c-a d) f (a+b \tan (e+f x))^2 (c+d \tan (e+f x))}-\frac{-\frac{b^2 \left (2 d a^2-2 b c a+3 b^2 d\right )-a \left (2 b^2 (b c-a d)-3 a b^2 d\right )}{\left (a^2+b^2\right ) (b c-a d) f (a+b \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))}-\frac{-\frac{-2 \left (-d^2 a^4+2 b c d a^3-b^2 \left (c^2+6 d^2\right ) a^2+2 b^3 c d a+b^4 \left (c^2-3 d^2\right )\right ) d^2-c \left (2 b^2 c d \left (-7 d a^2+4 b c a-3 b^2 d\right )-4 a b d (b c-a d)^2\right )}{(a d-b c) \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))}-\frac{-\frac{2 \left (c^2+d^2\right ) \left (-10 d^2 a^4+10 b c d a^3-3 b^2 \left (c^2+3 d^2\right ) a^2+2 b^3 c d a+b^4 \left (c^2-3 d^2\right )\right ) \log (a+b \tan (e+f x)) b^4}{\left (a^2+b^2\right ) (b c-a d)}-\frac{(b c-a d)^3 \left (2 c d a^3+3 b c^2 a^2-3 b d^2 a^2-6 b^2 c d a-b^3 c^2+b^3 d^2-\frac{\sqrt{-b^2} \left (-\left (c^2-d^2\right ) a^3+6 b c d a^2+3 b^2 \left (c^2-d^2\right ) a-2 b^3 c d\right )}{b}\right ) \log \left (\sqrt{-b^2}-b \tan (e+f x)\right ) b}{\left (a^2+b^2\right ) \left (c^2+d^2\right )}-\frac{(b c-a d)^3 \left (2 c d a^3+3 b c^2 a^2-3 b d^2 a^2-6 b^2 c d a-b^3 c^2+b^3 d^2+\frac{\sqrt{-b^2} \left (-\left (c^2-d^2\right ) a^3+6 b c d a^2+3 b^2 \left (c^2-d^2\right ) a-2 b^3 c d\right )}{b}\right ) \log \left (b \tan (e+f x)+\sqrt{-b^2}\right ) b}{\left (a^2+b^2\right ) \left (c^2+d^2\right )}-\frac{2 \left (a^2+b^2\right )^2 d^4 \left (5 b c^2-2 a d c+3 b d^2\right ) \log (c+d \tan (e+f x)) b}{(b c-a d) \left (c^2+d^2\right )}}{b (a d-b c) \left (c^2+d^2\right ) f}}{\left (a^2+b^2\right ) (b c-a d)}}{2 \left (a^2+b^2\right ) (b c-a d)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[1/((a + b*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x])^2),x]

[Out]

-b^2/(2*(a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])) - (-((b^2*(-2*a*b*c + 2*a^2*d +
3*b^2*d) - a*(-3*a*b^2*d + 2*b^2*(b*c - a*d)))/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e +
f*x]))) - (-((-((b*(b*c - a*d)^3*(3*a^2*b*c^2 - b^3*c^2 + 2*a^3*c*d - 6*a*b^2*c*d - 3*a^2*b*d^2 + b^3*d^2 - (
Sqrt[-b^2]*(6*a^2*b*c*d - 2*b^3*c*d - a^3*(c^2 - d^2) + 3*a*b^2*(c^2 - d^2)))/b)*Log[Sqrt[-b^2] - b*Tan[e + f*
x]])/((a^2 + b^2)*(c^2 + d^2))) - (2*b^4*(c^2 + d^2)*(10*a^3*b*c*d + 2*a*b^3*c*d - 10*a^4*d^2 + b^4*(c^2 - 3*d
^2) - 3*a^2*b^2*(c^2 + 3*d^2))*Log[a + b*Tan[e + f*x]])/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)) - (b*(b*c - a*d)^3*(3*a^2*b*
c^2 - b^3*c^2 + 2*a^3*c*d - 6*a*b^2*c*d - 3*a^2*b*d^2 + b^3*d^2 + (Sqrt[-b^2]*(6*a^2*b*c*d - 2*b^3*c*d - a^3*(
c^2 - d^2) + 3*a*b^2*(c^2 - d^2)))/b)*Log[Sqrt[-b^2] + b*Tan[e + f*x]])/((a^2 + b^2)*(c^2 + d^2)) - (2*b*(a^2
+ b^2)^2*d^4*(5*b*c^2 - 2*a*c*d + 3*b*d^2)*Log[c + d*Tan[e + f*x]])/((b*c - a*d)*(c^2 + d^2)))/(b*(-(b*c) + a*
d)*(c^2 + d^2)*f)) - (-(c*(-4*a*b*d*(b*c - a*d)^2 + 2*b^2*c*d*(4*a*b*c - 7*a^2*d - 3*b^2*d))) - 2*d^2*(2*a^3*b
*c*d + 2*a*b^3*c*d - a^4*d^2 + b^4*(c^2 - 3*d^2) - a^2*b^2*(c^2 + 6*d^2)))/((-(b*c) + a*d)*(c^2 + d^2)*f*(c +
d*Tan[e + f*x])))/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)))/(2*(a^2 + b^2)*(b*c - a*d))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.069, size = 1080, normalized size = 2.4 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(1/(a+b*tan(f*x+e))^3/(c+d*tan(f*x+e))^2,x)

[Out]

-2/f*b^6/(a^2+b^2)^3/(a*d-b*c)^4*ln(a+b*tan(f*x+e))*a*c*d-6/f/(a^2+b^2)^3/(c^2+d^2)^2*arctan(tan(f*x+e))*a^2*b
*c*d+3/f/(a^2+b^2)^3/(c^2+d^2)^2*ln(1+tan(f*x+e)^2)*a*b^2*c*d-10/f*b^4/(a^2+b^2)^3/(a*d-b*c)^4*ln(a+b*tan(f*x+
e))*a^3*c*d-1/2/f*b^3/(a^2+b^2)/(a*d-b*c)^2/(a+b*tan(f*x+e))^2-1/f*d^4/(a*d-b*c)^3/(c^2+d^2)/(c+d*tan(f*x+e))-
3/2/f/(a^2+b^2)^3/(c^2+d^2)^2*ln(1+tan(f*x+e)^2)*a^2*b*c^2+3/2/f/(a^2+b^2)^3/(c^2+d^2)^2*ln(1+tan(f*x+e)^2)*a^
2*b*d^2-3/f/(a^2+b^2)^3/(c^2+d^2)^2*arctan(tan(f*x+e))*a*b^2*c^2+3/f/(a^2+b^2)^3/(c^2+d^2)^2*arctan(tan(f*x+e)
)*a*b^2*d^2+2/f/(a^2+b^2)^3/(c^2+d^2)^2*arctan(tan(f*x+e))*b^3*c*d+2/f*d^5/(a*d-b*c)^4/(c^2+d^2)^2*ln(c+d*tan(
f*x+e))*a*c-5/f*d^4/(a*d-b*c)^4/(c^2+d^2)^2*ln(c+d*tan(f*x+e))*b*c^2+10/f*b^3/(a^2+b^2)^3/(a*d-b*c)^4*ln(a+b*t
an(f*x+e))*a^4*d^2+9/f*b^5/(a^2+b^2)^3/(a*d-b*c)^4*ln(a+b*tan(f*x+e))*a^2*d^2+1/2/f/(a^2+b^2)^3/(c^2+d^2)^2*ln
(1+tan(f*x+e)^2)*b^3*c^2-1/f/(a^2+b^2)^3/(c^2+d^2)^2*arctan(tan(f*x+e))*a^3*d^2-1/f*b^7/(a^2+b^2)^3/(a*d-b*c)^
4*ln(a+b*tan(f*x+e))*c^2-1/2/f/(a^2+b^2)^3/(c^2+d^2)^2*ln(1+tan(f*x+e)^2)*b^3*d^2+1/f/(a^2+b^2)^3/(c^2+d^2)^2*
arctan(tan(f*x+e))*a^3*c^2+3/f*b^7/(a^2+b^2)^3/(a*d-b*c)^4*ln(a+b*tan(f*x+e))*d^2-2/f*b^5/(a^2+b^2)^2/(a*d-b*c
)^3/(a+b*tan(f*x+e))*d-3/f*d^6/(a*d-b*c)^4/(c^2+d^2)^2*ln(c+d*tan(f*x+e))*b-4/f*b^3/(a^2+b^2)^2/(a*d-b*c)^3/(a
+b*tan(f*x+e))*a^2*d+2/f*b^4/(a^2+b^2)^2/(a*d-b*c)^3/(a+b*tan(f*x+e))*a*c+3/f*b^5/(a^2+b^2)^3/(a*d-b*c)^4*ln(a
+b*tan(f*x+e))*a^2*c^2-1/f/(a^2+b^2)^3/(c^2+d^2)^2*ln(1+tan(f*x+e)^2)*a^3*c*d

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 2.26211, size = 2475, normalized size = 5.42 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+b*tan(f*x+e))^3/(c+d*tan(f*x+e))^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/2*(2*((a^3 - 3*a*b^2)*c^2 - 2*(3*a^2*b - b^3)*c*d - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2)*(f*x + e)/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2
*b^4 + b^6)*c^4 + 2*(a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*c^2*d^2 + (a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4) + 2
*((3*a^2*b^5 - b^7)*c^2 - 2*(5*a^3*b^4 + a*b^6)*c*d + (10*a^4*b^3 + 9*a^2*b^5 + 3*b^7)*d^2)*log(b*tan(f*x + e)
+ a)/((a^6*b^4 + 3*a^4*b^6 + 3*a^2*b^8 + b^10)*c^4 - 4*(a^7*b^3 + 3*a^5*b^5 + 3*a^3*b^7 + a*b^9)*c^3*d + 6*(a
^8*b^2 + 3*a^6*b^4 + 3*a^4*b^6 + a^2*b^8)*c^2*d^2 - 4*(a^9*b + 3*a^7*b^3 + 3*a^5*b^5 + a^3*b^7)*c*d^3 + (a^10
+ 3*a^8*b^2 + 3*a^6*b^4 + a^4*b^6)*d^4) - 2*(5*b*c^2*d^4 - 2*a*c*d^5 + 3*b*d^6)*log(d*tan(f*x + e) + c)/(b^4*c
^8 - 4*a*b^3*c^7*d - 4*a^3*b*c*d^7 + a^4*d^8 + 2*(3*a^2*b^2 + b^4)*c^6*d^2 - 4*(a^3*b + 2*a*b^3)*c^5*d^3 + (a^
4 + 12*a^2*b^2 + b^4)*c^4*d^4 - 4*(2*a^3*b + a*b^3)*c^3*d^5 + 2*(a^4 + 3*a^2*b^2)*c^2*d^6) - ((3*a^2*b - b^3)*
c^2 + 2*(a^3 - 3*a*b^2)*c*d - (3*a^2*b - b^3)*d^2)*log(tan(f*x + e)^2 + 1)/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6
)*c^4 + 2*(a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*c^2*d^2 + (a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4) - ((5*a^2*b^4
+ b^6)*c^4 - (9*a^3*b^3 + 5*a*b^5)*c^3*d + (5*a^2*b^4 + b^6)*c^2*d^2 - (9*a^3*b^3 + 5*a*b^5)*c*d^3 - 2*(a^6 +
2*a^4*b^2 + a^2*b^4)*d^4 + 2*(2*a*b^5*c^3*d + 2*a*b^5*c*d^3 - 2*(2*a^2*b^4 + b^6)*c^2*d^2 - (a^4*b^2 + 6*a^2*
b^4 + 3*b^6)*d^4)*tan(f*x + e)^2 + (4*a*b^5*c^4 - 3*(a^2*b^4 + b^6)*c^3*d - (9*a^3*b^3 + a*b^5)*c^2*d^2 - 3*(a
^2*b^4 + b^6)*c*d^3 - (4*a^5*b + 17*a^3*b^3 + 9*a*b^5)*d^4)*tan(f*x + e))/((a^6*b^3 + 2*a^4*b^5 + a^2*b^7)*c^6
- 3*(a^7*b^2 + 2*a^5*b^4 + a^3*b^6)*c^5*d + (3*a^8*b + 7*a^6*b^3 + 5*a^4*b^5 + a^2*b^7)*c^4*d^2 - (a^9 + 5*a^
7*b^2 + 7*a^5*b^4 + 3*a^3*b^6)*c^3*d^3 + 3*(a^8*b + 2*a^6*b^3 + a^4*b^5)*c^2*d^4 - (a^9 + 2*a^7*b^2 + a^5*b^4)
*c*d^5 + ((a^4*b^5 + 2*a^2*b^7 + b^9)*c^5*d - 3*(a^5*b^4 + 2*a^3*b^6 + a*b^8)*c^4*d^2 + (3*a^6*b^3 + 7*a^4*b^5
+ 5*a^2*b^7 + b^9)*c^3*d^3 - (a^7*b^2 + 5*a^5*b^4 + 7*a^3*b^6 + 3*a*b^8)*c^2*d^4 + 3*(a^6*b^3 + 2*a^4*b^5 + a
^2*b^7)*c*d^5 - (a^7*b^2 + 2*a^5*b^4 + a^3*b^6)*d^6)*tan(f*x + e)^3 + ((a^4*b^5 + 2*a^2*b^7 + b^9)*c^6 - (a^5*
b^4 + 2*a^3*b^6 + a*b^8)*c^5*d - (3*a^6*b^3 + 5*a^4*b^5 + a^2*b^7 - b^9)*c^4*d^2 + (5*a^7*b^2 + 9*a^5*b^4 + 3*
a^3*b^6 - a*b^8)*c^3*d^3 - (2*a^8*b + 7*a^6*b^3 + 8*a^4*b^5 + 3*a^2*b^7)*c^2*d^4 + 5*(a^7*b^2 + 2*a^5*b^4 + a^
3*b^6)*c*d^5 - 2*(a^8*b + 2*a^6*b^3 + a^4*b^5)*d^6)*tan(f*x + e)^2 + (2*(a^5*b^4 + 2*a^3*b^6 + a*b^8)*c^6 - 5*
(a^6*b^3 + 2*a^4*b^5 + a^2*b^7)*c^5*d + (3*a^7*b^2 + 8*a^5*b^4 + 7*a^3*b^6 + 2*a*b^8)*c^4*d^2 + (a^8*b - 3*a^6
*b^3 - 9*a^4*b^5 - 5*a^2*b^7)*c^3*d^3 - (a^9 - a^7*b^2 - 5*a^5*b^4 - 3*a^3*b^6)*c^2*d^4 + (a^8*b + 2*a^6*b^3 +
a^4*b^5)*c*d^5 - (a^9 + 2*a^7*b^2 + a^5*b^4)*d^6)*tan(f*x + e)))/f

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 22.4868, size = 9604, normalized size = 21.02 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+b*tan(f*x+e))^3/(c+d*tan(f*x+e))^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/2*((7*a^2*b^7 + b^9)*c^7 - 6*(3*a^3*b^6 + a*b^8)*c^6*d + (11*a^4*b^5 + 19*a^2*b^7 + 2*b^9)*c^5*d^2 - 12*(3*
a^3*b^6 + a*b^8)*c^4*d^3 + (22*a^4*b^5 + 17*a^2*b^7 + b^9)*c^3*d^4 - 6*(3*a^3*b^6 + a*b^8)*c^2*d^5 - (2*a^8*b
+ 6*a^6*b^3 - 5*a^4*b^5 - 3*a^2*b^7)*c*d^6 + 2*(a^9 + 3*a^7*b^2 + 3*a^5*b^4 + a^3*b^6)*d^7 - ((5*a^2*b^7 - b^9
)*c^6*d - 2*(7*a^3*b^6 + a*b^8)*c^5*d^2 + (9*a^4*b^5 + 13*a^2*b^7 - 2*b^9)*c^4*d^3 - 4*(7*a^3*b^6 + a*b^8)*c^3
*d^4 - (2*a^6*b^3 - 12*a^4*b^5 - 5*a^2*b^7 + 3*b^9)*c^2*d^5 + 2*(a^7*b^2 + 3*a^5*b^4 - 4*a^3*b^6)*c*d^6 + 3*(3
*a^4*b^5 + a^2*b^7)*d^7 + 2*((a^3*b^6 - 3*a*b^8)*c^6*d - 2*(2*a^4*b^5 - 3*a^2*b^7 - b^9)*c^5*d^2 + (6*a^5*b^4
+ 5*a^3*b^6 - 5*a*b^8)*c^4*d^3 - 4*(a^6*b^3 + 5*a^4*b^5)*c^3*d^4 + (a^7*b^2 + 15*a^5*b^4 + 10*a^3*b^6)*c^2*d^5
- 2*(a^6*b^3 + 5*a^4*b^5)*c*d^6 - (a^7*b^2 - 3*a^5*b^4)*d^7)*f*x)*tan(f*x + e)^3 - 2*((a^5*b^4 - 3*a^3*b^6)*c
^7 - 2*(2*a^6*b^3 - 3*a^4*b^5 - a^2*b^7)*c^6*d + (6*a^7*b^2 + 5*a^5*b^4 - 5*a^3*b^6)*c^5*d^2 - 4*(a^8*b + 5*a^
6*b^3)*c^4*d^3 + (a^9 + 15*a^7*b^2 + 10*a^5*b^4)*c^3*d^4 - 2*(a^8*b + 5*a^6*b^3)*c^2*d^5 - (a^9 - 3*a^7*b^2)*c
*d^6)*f*x - ((5*a^2*b^7 - b^9)*c^7 - 8*(a^3*b^6 + a*b^8)*c^6*d - (7*a^4*b^5 - 25*a^2*b^7 - 2*b^9)*c^5*d^2 + 2*
(5*a^5*b^4 - 11*a^3*b^6 - 10*a*b^8)*c^4*d^3 - 7*(2*a^4*b^5 - 5*a^2*b^7 - b^9)*c^3*d^4 - 4*(a^7*b^2 - 2*a^5*b^4
+ 8*a^3*b^6 + 5*a*b^8)*c^2*d^5 + (4*a^8*b + 14*a^6*b^3 + 11*a^4*b^5 + 25*a^2*b^7 + 6*b^9)*c*d^6 - 2*(a^7*b^2
- 2*a^5*b^4 + 6*a^3*b^6 + 3*a*b^8)*d^7 + 2*((a^3*b^6 - 3*a*b^8)*c^7 - 2*(a^4*b^5 - b^9)*c^6*d - (2*a^5*b^4 - 1
7*a^3*b^6 + a*b^8)*c^5*d^2 + 2*(4*a^6*b^3 - 5*a^4*b^5 - 5*a^2*b^7)*c^4*d^3 - (7*a^7*b^2 + 25*a^5*b^4 - 10*a^3*
b^6)*c^3*d^4 + 2*(a^8*b + 14*a^6*b^3 + 5*a^4*b^5)*c^2*d^5 - (5*a^7*b^2 + 17*a^5*b^4)*c*d^6 - 2*(a^8*b - 3*a^6*
b^3)*d^7)*f*x)*tan(f*x + e)^2 - ((3*a^4*b^5 - a^2*b^7)*c^7 - 2*(5*a^5*b^4 + a^3*b^6)*c^6*d + (10*a^6*b^3 + 15*
a^4*b^5 + a^2*b^7)*c^5*d^2 - 4*(5*a^5*b^4 + a^3*b^6)*c^4*d^3 + (20*a^6*b^3 + 21*a^4*b^5 + 5*a^2*b^7)*c^3*d^4 -
2*(5*a^5*b^4 + a^3*b^6)*c^2*d^5 + (10*a^6*b^3 + 9*a^4*b^5 + 3*a^2*b^7)*c*d^6 + ((3*a^2*b^7 - b^9)*c^6*d - 2*(
5*a^3*b^6 + a*b^8)*c^5*d^2 + (10*a^4*b^5 + 15*a^2*b^7 + b^9)*c^4*d^3 - 4*(5*a^3*b^6 + a*b^8)*c^3*d^4 + (20*a^4
*b^5 + 21*a^2*b^7 + 5*b^9)*c^2*d^5 - 2*(5*a^3*b^6 + a*b^8)*c*d^6 + (10*a^4*b^5 + 9*a^2*b^7 + 3*b^9)*d^7)*tan(f
*x + e)^3 + ((3*a^2*b^7 - b^9)*c^7 - 4*(a^3*b^6 + a*b^8)*c^6*d - (10*a^4*b^5 - 11*a^2*b^7 - b^9)*c^5*d^2 + 2*(
10*a^5*b^4 + 5*a^3*b^6 - a*b^8)*c^4*d^3 - (20*a^4*b^5 - 13*a^2*b^7 - 5*b^9)*c^3*d^4 + 8*(5*a^5*b^4 + 4*a^3*b^6
+ a*b^8)*c^2*d^5 - (10*a^4*b^5 - 5*a^2*b^7 - 3*b^9)*c*d^6 + 2*(10*a^5*b^4 + 9*a^3*b^6 + 3*a*b^8)*d^7)*tan(f*x
+ e)^2 + (2*(3*a^3*b^6 - a*b^8)*c^7 - (17*a^4*b^5 + 5*a^2*b^7)*c^6*d + 2*(5*a^5*b^4 + 14*a^3*b^6 + a*b^8)*c^5
*d^2 + (10*a^6*b^3 - 25*a^4*b^5 - 7*a^2*b^7)*c^4*d^3 + 2*(10*a^5*b^4 + 19*a^3*b^6 + 5*a*b^8)*c^3*d^4 + (20*a^6
*b^3 + a^4*b^5 + a^2*b^7)*c^2*d^5 + 2*(5*a^5*b^4 + 8*a^3*b^6 + 3*a*b^8)*c*d^6 + (10*a^6*b^3 + 9*a^4*b^5 + 3*a^
2*b^7)*d^7)*tan(f*x + e))*log((b^2*tan(f*x + e)^2 + 2*a*b*tan(f*x + e) + a^2)/(tan(f*x + e)^2 + 1)) + (5*(a^8*
b + 3*a^6*b^3 + 3*a^4*b^5 + a^2*b^7)*c^3*d^4 - 2*(a^9 + 3*a^7*b^2 + 3*a^5*b^4 + a^3*b^6)*c^2*d^5 + 3*(a^8*b +
3*a^6*b^3 + 3*a^4*b^5 + a^2*b^7)*c*d^6 + (5*(a^6*b^3 + 3*a^4*b^5 + 3*a^2*b^7 + b^9)*c^2*d^5 - 2*(a^7*b^2 + 3*a
^5*b^4 + 3*a^3*b^6 + a*b^8)*c*d^6 + 3*(a^6*b^3 + 3*a^4*b^5 + 3*a^2*b^7 + b^9)*d^7)*tan(f*x + e)^3 + (5*(a^6*b^
3 + 3*a^4*b^5 + 3*a^2*b^7 + b^9)*c^3*d^4 + 8*(a^7*b^2 + 3*a^5*b^4 + 3*a^3*b^6 + a*b^8)*c^2*d^5 - (4*a^8*b + 9*
a^6*b^3 + 3*a^4*b^5 - 5*a^2*b^7 - 3*b^9)*c*d^6 + 6*(a^7*b^2 + 3*a^5*b^4 + 3*a^3*b^6 + a*b^8)*d^7)*tan(f*x + e)
^2 + (10*(a^7*b^2 + 3*a^5*b^4 + 3*a^3*b^6 + a*b^8)*c^3*d^4 + (a^8*b + 3*a^6*b^3 + 3*a^4*b^5 + a^2*b^7)*c^2*d^5
- 2*(a^9 - 6*a^5*b^4 - 8*a^3*b^6 - 3*a*b^8)*c*d^6 + 3*(a^8*b + 3*a^6*b^3 + 3*a^4*b^5 + a^2*b^7)*d^7)*tan(f*x
+ e))*log((d^2*tan(f*x + e)^2 + 2*c*d*tan(f*x + e) + c^2)/(tan(f*x + e)^2 + 1)) - (6*(a^3*b^6 - a*b^8)*c^7 - (
16*a^4*b^5 - 5*a^2*b^7 - 3*b^9)*c^6*d + 2*(5*a^5*b^4 + 12*a^3*b^6 - 5*a*b^8)*c^5*d^2 - (43*a^4*b^5 - 5*a^2*b^7
- 6*b^9)*c^4*d^3 + 2*(10*a^5*b^4 + 15*a^3*b^6 - a*b^8)*c^3*d^4 - (2*a^8*b + 6*a^6*b^3 + 44*a^4*b^5 + 7*a^2*b^
7 - 3*b^9)*c^2*d^5 + 2*(a^9 + 5*a^7*b^2 + 14*a^5*b^4 + 13*a^3*b^6 + 3*a*b^8)*c*d^6 - (4*a^8*b + 12*a^6*b^3 + 2
3*a^4*b^5 + 9*a^2*b^7)*d^7 + 2*(2*(a^4*b^5 - 3*a^2*b^7)*c^7 - (7*a^5*b^4 - 9*a^3*b^6 - 4*a*b^8)*c^6*d + 8*(a^6
*b^3 + 2*a^4*b^5 - a^2*b^7)*c^5*d^2 - (2*a^7*b^2 + 35*a^5*b^4 + 5*a^3*b^6)*c^4*d^3 - 2*(a^8*b - 5*a^6*b^3 - 10
*a^4*b^5)*c^3*d^4 + (a^9 + 11*a^7*b^2 - 10*a^5*b^4)*c^2*d^5 - 4*(a^8*b + a^6*b^3)*c*d^6 - (a^9 - 3*a^7*b^2)*d^
7)*f*x)*tan(f*x + e))/(((a^6*b^6 + 3*a^4*b^8 + 3*a^2*b^10 + b^12)*c^8*d - 4*(a^7*b^5 + 3*a^5*b^7 + 3*a^3*b^9 +
a*b^11)*c^7*d^2 + 2*(3*a^8*b^4 + 10*a^6*b^6 + 12*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*c^6*d^3 - 4*(a^9*b^3 + 5*a^7*b^
5 + 9*a^5*b^7 + 7*a^3*b^9 + 2*a*b^11)*c^5*d^4 + (a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 40*a^6*b^6 + 40*a^4*b^8 + 15*a^2*b^10
+ b^12)*c^4*d^5 - 4*(2*a^9*b^3 + 7*a^7*b^5 + 9*a^5*b^7 + 5*a^3*b^9 + a*b^11)*c^3*d^6 + 2*(a^10*b^2 + 6*a^8*b^
4 + 12*a^6*b^6 + 10*a^4*b^8 + 3*a^2*b^10)*c^2*d^7 - 4*(a^9*b^3 + 3*a^7*b^5 + 3*a^5*b^7 + a^3*b^9)*c*d^8 + (a^1
0*b^2 + 3*a^8*b^4 + 3*a^6*b^6 + a^4*b^8)*d^9)*f*tan(f*x + e)^3 + ((a^6*b^6 + 3*a^4*b^8 + 3*a^2*b^10 + b^12)*c^
9 - 2*(a^7*b^5 + 3*a^5*b^7 + 3*a^3*b^9 + a*b^11)*c^8*d - 2*(a^8*b^4 + 2*a^6*b^6 - 2*a^2*b^10 - b^12)*c^7*d^2 +
4*(2*a^9*b^3 + 5*a^7*b^5 + 3*a^5*b^7 - a^3*b^9 - a*b^11)*c^6*d^3 - (7*a^10*b^2 + 25*a^8*b^4 + 32*a^6*b^6 + 16
*a^4*b^8 + a^2*b^10 - b^12)*c^5*d^4 + 2*(a^11*b + 11*a^9*b^3 + 26*a^7*b^5 + 22*a^5*b^7 + 5*a^3*b^9 - a*b^11)*c
^4*d^5 - 2*(7*a^10*b^2 + 22*a^8*b^4 + 24*a^6*b^6 + 10*a^4*b^8 + a^2*b^10)*c^3*d^6 + 4*(a^11*b + 5*a^9*b^3 + 9*
a^7*b^5 + 7*a^5*b^7 + 2*a^3*b^9)*c^2*d^7 - 7*(a^10*b^2 + 3*a^8*b^4 + 3*a^6*b^6 + a^4*b^8)*c*d^8 + 2*(a^11*b +
3*a^9*b^3 + 3*a^7*b^5 + a^5*b^7)*d^9)*f*tan(f*x + e)^2 + (2*(a^7*b^5 + 3*a^5*b^7 + 3*a^3*b^9 + a*b^11)*c^9 - 7
*(a^8*b^4 + 3*a^6*b^6 + 3*a^4*b^8 + a^2*b^10)*c^8*d + 4*(2*a^9*b^3 + 7*a^7*b^5 + 9*a^5*b^7 + 5*a^3*b^9 + a*b^1
1)*c^7*d^2 - 2*(a^10*b^2 + 10*a^8*b^4 + 24*a^6*b^6 + 22*a^4*b^8 + 7*a^2*b^10)*c^6*d^3 - 2*(a^11*b - 5*a^9*b^3
- 22*a^7*b^5 - 26*a^5*b^7 - 11*a^3*b^9 - a*b^11)*c^5*d^4 + (a^12 - a^10*b^2 - 16*a^8*b^4 - 32*a^6*b^6 - 25*a^4
*b^8 - 7*a^2*b^10)*c^4*d^5 - 4*(a^11*b + a^9*b^3 - 3*a^7*b^5 - 5*a^5*b^7 - 2*a^3*b^9)*c^3*d^6 + 2*(a^12 + 2*a^
10*b^2 - 2*a^6*b^6 - a^4*b^8)*c^2*d^7 - 2*(a^11*b + 3*a^9*b^3 + 3*a^7*b^5 + a^5*b^7)*c*d^8 + (a^12 + 3*a^10*b^
2 + 3*a^8*b^4 + a^6*b^6)*d^9)*f*tan(f*x + e) + ((a^8*b^4 + 3*a^6*b^6 + 3*a^4*b^8 + a^2*b^10)*c^9 - 4*(a^9*b^3
+ 3*a^7*b^5 + 3*a^5*b^7 + a^3*b^9)*c^8*d + 2*(3*a^10*b^2 + 10*a^8*b^4 + 12*a^6*b^6 + 6*a^4*b^8 + a^2*b^10)*c^7
*d^2 - 4*(a^11*b + 5*a^9*b^3 + 9*a^7*b^5 + 7*a^5*b^7 + 2*a^3*b^9)*c^6*d^3 + (a^12 + 15*a^10*b^2 + 40*a^8*b^4 +
40*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + a^2*b^10)*c^5*d^4 - 4*(2*a^11*b + 7*a^9*b^3 + 9*a^7*b^5 + 5*a^5*b^7 + a^3*b^9)*c^4*
d^5 + 2*(a^12 + 6*a^10*b^2 + 12*a^8*b^4 + 10*a^6*b^6 + 3*a^4*b^8)*c^3*d^6 - 4*(a^11*b + 3*a^9*b^3 + 3*a^7*b^5
+ a^5*b^7)*c^2*d^7 + (a^12 + 3*a^10*b^2 + 3*a^8*b^4 + a^6*b^6)*c*d^8)*f)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+b*tan(f*x+e))**3/(c+d*tan(f*x+e))**2,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 2.00074, size = 2375, normalized size = 5.2 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+b*tan(f*x+e))^3/(c+d*tan(f*x+e))^2,x, algorithm="giac")

[Out]

1/2*(2*(a^3*c^2 - 3*a*b^2*c^2 - 6*a^2*b*c*d + 2*b^3*c*d - a^3*d^2 + 3*a*b^2*d^2)*(f*x + e)/(a^6*c^4 + 3*a^4*b^
2*c^4 + 3*a^2*b^4*c^4 + b^6*c^4 + 2*a^6*c^2*d^2 + 6*a^4*b^2*c^2*d^2 + 6*a^2*b^4*c^2*d^2 + 2*b^6*c^2*d^2 + a^6*
d^4 + 3*a^4*b^2*d^4 + 3*a^2*b^4*d^4 + b^6*d^4) - (3*a^2*b*c^2 - b^3*c^2 + 2*a^3*c*d - 6*a*b^2*c*d - 3*a^2*b*d^
2 + b^3*d^2)*log(tan(f*x + e)^2 + 1)/(a^6*c^4 + 3*a^4*b^2*c^4 + 3*a^2*b^4*c^4 + b^6*c^4 + 2*a^6*c^2*d^2 + 6*a^
4*b^2*c^2*d^2 + 6*a^2*b^4*c^2*d^2 + 2*b^6*c^2*d^2 + a^6*d^4 + 3*a^4*b^2*d^4 + 3*a^2*b^4*d^4 + b^6*d^4) + 2*(3*
a^2*b^6*c^2 - b^8*c^2 - 10*a^3*b^5*c*d - 2*a*b^7*c*d + 10*a^4*b^4*d^2 + 9*a^2*b^6*d^2 + 3*b^8*d^2)*log(abs(b*t
an(f*x + e) + a))/(a^6*b^5*c^4 + 3*a^4*b^7*c^4 + 3*a^2*b^9*c^4 + b^11*c^4 - 4*a^7*b^4*c^3*d - 12*a^5*b^6*c^3*d
- 12*a^3*b^8*c^3*d - 4*a*b^10*c^3*d + 6*a^8*b^3*c^2*d^2 + 18*a^6*b^5*c^2*d^2 + 18*a^4*b^7*c^2*d^2 + 6*a^2*b^9
*c^2*d^2 - 4*a^9*b^2*c*d^3 - 12*a^7*b^4*c*d^3 - 12*a^5*b^6*c*d^3 - 4*a^3*b^8*c*d^3 + a^10*b*d^4 + 3*a^8*b^3*d^
4 + 3*a^6*b^5*d^4 + a^4*b^7*d^4) - 2*(5*b*c^2*d^5 - 2*a*c*d^6 + 3*b*d^7)*log(abs(d*tan(f*x + e) + c))/(b^4*c^8
*d - 4*a*b^3*c^7*d^2 + 6*a^2*b^2*c^6*d^3 + 2*b^4*c^6*d^3 - 4*a^3*b*c^5*d^4 - 8*a*b^3*c^5*d^4 + a^4*c^4*d^5 + 1
2*a^2*b^2*c^4*d^5 + b^4*c^4*d^5 - 8*a^3*b*c^3*d^6 - 4*a*b^3*c^3*d^6 + 2*a^4*c^2*d^7 + 6*a^2*b^2*c^2*d^7 - 4*a^
3*b*c*d^8 + a^4*d^9) + 2*(5*b*c^2*d^5*tan(f*x + e) - 2*a*c*d^6*tan(f*x + e) + 3*b*d^7*tan(f*x + e) + 6*b*c^3*d
^4 - 3*a*c^2*d^5 + 4*b*c*d^6 - a*d^7)/((b^4*c^8 - 4*a*b^3*c^7*d + 6*a^2*b^2*c^6*d^2 + 2*b^4*c^6*d^2 - 4*a^3*b*
c^5*d^3 - 8*a*b^3*c^5*d^3 + a^4*c^4*d^4 + 12*a^2*b^2*c^4*d^4 + b^4*c^4*d^4 - 8*a^3*b*c^3*d^5 - 4*a*b^3*c^3*d^5
+ 2*a^4*c^2*d^6 + 6*a^2*b^2*c^2*d^6 - 4*a^3*b*c*d^7 + a^4*d^8)*(d*tan(f*x + e) + c)) - (9*a^2*b^7*c^2*tan(f*x
+ e)^2 - 3*b^9*c^2*tan(f*x + e)^2 - 30*a^3*b^6*c*d*tan(f*x + e)^2 - 6*a*b^8*c*d*tan(f*x + e)^2 + 30*a^4*b^5*d
^2*tan(f*x + e)^2 + 27*a^2*b^7*d^2*tan(f*x + e)^2 + 9*b^9*d^2*tan(f*x + e)^2 + 22*a^3*b^6*c^2*tan(f*x + e) - 2
*a*b^8*c^2*tan(f*x + e) - 72*a^4*b^5*c*d*tan(f*x + e) - 28*a^2*b^7*c*d*tan(f*x + e) - 4*b^9*c*d*tan(f*x + e) +
68*a^5*b^4*d^2*tan(f*x + e) + 66*a^3*b^6*d^2*tan(f*x + e) + 22*a*b^8*d^2*tan(f*x + e) + 14*a^4*b^5*c^2 + 3*a^
2*b^7*c^2 + b^9*c^2 - 44*a^5*b^4*c*d - 26*a^3*b^6*c*d - 6*a*b^8*c*d + 39*a^6*b^3*d^2 + 41*a^4*b^5*d^2 + 14*a^2
*b^7*d^2)/((a^6*b^4*c^4 + 3*a^4*b^6*c^4 + 3*a^2*b^8*c^4 + b^10*c^4 - 4*a^7*b^3*c^3*d - 12*a^5*b^5*c^3*d - 12*a
^3*b^7*c^3*d - 4*a*b^9*c^3*d + 6*a^8*b^2*c^2*d^2 + 18*a^6*b^4*c^2*d^2 + 18*a^4*b^6*c^2*d^2 + 6*a^2*b^8*c^2*d^2
- 4*a^9*b*c*d^3 - 12*a^7*b^3*c*d^3 - 12*a^5*b^5*c*d^3 - 4*a^3*b^7*c*d^3 + a^10*d^4 + 3*a^8*b^2*d^4 + 3*a^6*b^
4*d^4 + a^4*b^6*d^4)*(b*tan(f*x + e) + a)^2))/f